HJM利率模型的Markov化

聲明：本文描述了本人許多年前接觸過的一個利率模型框架。該模型在工業界的應用及其廣泛，而且似乎在銀行裡的知名度遠大於其在學術圈的影響。鑒於本人目前工作中已不再經常與利率模型打交道，本文算是一篇Q系礦工的懷舊文。

我們知道， HJM利率模型框架（註意“框架”二字並非冗餘－ HJM本身並不是一個模型，在其框架之下有眾多形式的模型）相比於其他的利率模型，比如market rate model(LMM/SMM)以及equilibrium IR model(最有名氣的代表是 Vasicek和CIR), HJM 框架下的模型滿足無套利條件（no arbitrage condition).

讓我們簡要回顧一下 HJM模型的基本形式。HJM建模的對象是瞬時遠期利率(instantaneous forward rate) , 定義為零息折扣因子對於到期期限的偏微分:

我們可以假設滿足如下的隨機微分方程：

這一形式非常一般，除了假設其沒有跳躍項而僅有擴散(diffusion)項和確定的飄逸(drift)項。為了滿足無套利條件，我們必須保證作為可交易資產的零息債券滿足以下條件，即趨勢項中的增長率為無風險短期利率:

這裡 的形式待定。至於前面為什麼是負號後面自會看到。

根據伊藤引理，我們得到

利用之前的公式 ，得到

我們令 的擴散項 ＝， 則

的漂移項

因此得到最終滿足 HJM無套利條件的 SDE:

我們可以看到 HJM條件的核心在於其擴散項與漂移項的關系。特別的，在給定 的條件下，擴散項完全由確定。在 HJM框架之下，不同的模型之間僅在於的形式不同。 舉兩個例子：

1. Ho-Lee 模型： 為常數。
2. Hull-White 模型： (註意這並非 Hull-White模型的一般形式。）

我們可以看到， 在 HJM模型的一般形式中，由於擴散項存在積分，因此如果不對模型的形式做進一步限制， 是無法用有限個隻含的狀態變量來表達的，也就是不滿足 （有限維狀態變量）Markovian條件。 Sankarasubramanian和Ritchken （以下簡稱 S-R模型）推導出了使其滿足Markovian條件的模型形式。

首先，S-R模型對的形式進行了進一步限制，使其滿足“可分性”，即

其中

。

這裡可以為隨機過程。

我們註意到滿足條件：，且

因此可以得到

(令 )

將 進行積分得

其中

這樣我們便將表達為有限狀態變量的Markov過程。需要註意的是，除了以上的兩個狀態變量 以外，我們還需要第三個狀態變量, 也就是我們熟悉的money market account：