作者：Minkyung Kang
譯者：知源覓流
原文鏈接：
https://github.com/mkang32/python-basics/blob/master/numpy/dot_vs_multiply_vs_matmul_vs_at.ipynb
3. NumPy數組有哪些可用的功能？
我們的目標是在 NumPy 中找到執行點積或矩陣乘法的最佳方法。我比較了三個不同類別中的五種不同選項：
- 元素乘法（element-wise multiplication）：* 或 np.multiply 加上 np.sum
- 點積：np.dot
- 矩陣乘法：np.matmul, @
我們將根據向量/矩陣的維度來探討不同的情況，並理解每種方法的優缺點（the pros and cons of each method）。要在接下來的部分中運行代碼，我們首先需要導入 numpy。
import numpy as np
(1) 元素乘法：*和sum
首先，我們可以嘗試將元素乘法作為基本方法來實現點積：將兩個向量中的對應元素相乘，然後將所有輸出值相加。這種方法的缺點是你需要分別進行乘法和加法運算，導致它比我們稍後將討論的其他方法慢。
這是一個使用兩個1-D數組計算點積的示例。
a = np.array([1, 2, 3])
b = np.array([4, 5, 6])
>>> a*b
array([ 4, 10, 18])
>>> sum(a*b)
32
>>> np.sum(a*b) #譯者添加
32讓我們看看2-D數組矩陣乘法的示例。
c = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6]])
d = np.array([1, 1, 1])
>>> c*d
array([[1, 2, 3],
[4, 5, 6]])在這裡，二維數組 c 的每一行都被視為矩陣的一個元素，並與第二個數組 d 進行逐元素相乘。如下所示。
如果我們想要的是矩陣乘法的話，結果應該是這樣：
因此，為了得到想要的輸出，你需要對初始輸出應用 np.sum。請註意，你應該傳遞參數 axis=1，它會對同一行中的元素求和。否則，因為默認值是axis=None，它對數組中的所有元素求和（譯者訂）。(譯者註：axis=0表示跨行（Y軸）的方向，axis=1表示跨列（X軸）的方向）
>>> np.sum(c*d, axis=1)
array([ 6, 15])譯者註：
你可能會問，為什麼不用sum了呢？這是因為如果你繼續用剛才用過的sum函數，就得不到想要的結果了。
>>> sum(c*d)
array([5, 7, 9])
此時，你可能被sum和np.sum繞暈了。從下面的簡介可以看出，sum是Python內置的函數，用於求和，功能有限。np.sum是numpy提供的求和函數，功能相對強大。所以，一般建議用np.sum。
對sum的簡介。
sum(iterable, /, start=0)
Return the sum of a 'start' value (default: 0) plus an iterable of numbers
對np.sum的簡介。
sum(a, axis=None, dtype=None, out=None, keepdims=<no value>, initial=<no value>, where=<no value>)
Sum of array elements over a given axis.
(2) 元素乘法：np.multiply和sum
np.multiply 和 * 基本上是一樣的。它是NumPy的元素乘法版本，而不是Python的本地運算符。你需要 sum 函數求和才能得到最終的標量輸出。
a = np.array([1, 2, 3])
b = np.array([4, 5, 6])
>>> np.multiply(a, b)
array([ 4, 10, 18])
>>> np.sum(np.multiply(a, b))
32(3) 點積：np.dot
在Numpy中有一種更優雅和簡單的方法來計算點積，它就是np.dot(a, b) 或 a.dot(b)。它可以同時處理元素乘法和求和。簡單易用。
a = np.array([1, 2, 3])
b = np.array([4, 5, 6])
>>> np.dot(a, b)
32然而，當它是一個更高維度的數組時，你需要小心。如果數組的維度為2-D或更高，請確保第一個數組的列數與第二個數組的行數相匹配。
a = np.array([[1, 2, 3]]) # shape (1, 3)
b = np.array([[4, 5, 6]]) # shape (1, 3)
>>> np.dot(a, b)
# ValueError: shapes (1,3) and (1,3) not aligned: 3 (dim 1) != 1 (dim 0)為了讓上述示例運行，你需要轉置第二個數組，以便形狀對齊：(1, 3) x (3, 1)。請註意，這將返回形為(1, 1)的數組，這是一個2-D數組。
a = np.array([[1, 2, 3]]) # shape (1, 3)
b = np.array([[4, 5, 6]]) # shape (1, 3)
>>> np.dot(a, b.T)
array([[32]])如果第二個數組是形狀為（3，）的1-D數組，那麼輸出的數組也會是1-D數組。
a = np.array([[1, 2, 3]]) # shape (1, 3)
b = np.array([4, 5, 6]) # shape (3, )
>>> np.dot(a, b)
array([32])還要註意輸入數組的順序。如果順序相反，你會得到外積（outer product）而不是內積（inner product）（點積）。（譯者註：一個行向量乘以一個列向量稱作向量的內積，又叫作點積，結果是一個標量；一個列向量乘以一個行向量稱作向量的外積，結果是一個矩陣）
a = np.array([[1, 2, 3]]) # shape (1, 3)
b = np.array([[4, 5, 6]]) # shape (1, 3)
>>> np.dot(a.T, b) # (3, 1) x (1, 3)
array([[ 4, 5, 6],
[ 8, 10, 12],
[12, 15, 18]])那麼np.dot方法也適用於2-D數組×2-D數組嗎？現在讓我們嘗試一個2D x 2D的例子。
c = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6]]) # shape (2, 3)
d = np.array([[1], [1], [1]]) # shape (3, 1)
>>> np.dot(c, d)
array([[ 6],
[15]])它起作用了！即使它被稱為點積，根據其定義，這表示輸入是1-D向量，輸出是標量，但它對2-D或更高維度的矩陣也起作用，就像它是矩陣乘法一樣。上面例子的計算過程如下所示。
*或np.multiply是不支持這樣計算的，所以np.dot絕對是一個改進。那麼，我們應該把np.dot用於所有的點積和矩陣乘法嗎？
從技術上講，可以，但並不推薦使用np.dot進行矩陣乘法，因為“點積”這個名稱有特定的含義，可能會讓讀者感到困惑，尤其是數學傢！
此外，對於高維矩陣（3-D或更高），不推薦使用 np.dot，因為它的行為與普通矩陣乘法不同。我們將在本文的後面部分討論這個問題。
因此，np.dot 既適用於點積也適用於矩陣乘法，但僅建議用於點積。
(4) 矩陣乘法：np.matmul
下一個選項是 np.matmul。它專為矩陣乘法而設計，名字也是由此得來（MATrix MULtiplication）。盡管名稱說的是矩陣乘法，但它也適用於 1-D 數組，就像 np.dot 一樣。下面讓我們嘗試一下之前測試 np.dot 的例子。可以看出，對於1-D和2-D數組，np.matmul 與 np.dot 的功能是一樣的。
# 1D array
a = np.array([1, 2, 3]) # shape (1, 3)
b = np.array([4, 5, 6]) # shape (1, 3)
>>> np.matmul(a, b)
32# 2D array with values in 1 axis
a = np.array([[1, 2, 3]]) # shape (1, 3)
b = np.array([[4, 5, 6]]) # shape (1, 3)
>>> np.dot(a, b.T)
array([[32]])# 2D arrays
c = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6]]) # shape (2, 3)
d = np.array([[1], [1], [1]]) # shape (3, 1)
>>> np.dot(c, d)
array([[ 6],
[15]])太好了！因此，這意味著np.dot和np.matmul都可以完美地用於點積和矩陣乘法。然而，正如我們之前所說，建議使用np.dot進行點積運算，使用np.matmul進行2-D或更高維度的矩陣乘法。
(5 ) 矩陣乘法：@
最後一個選項來了！@是自Python 3.5以來引入的新運算符，其名稱來自mATrices。它基本上與 np.matmul 相同，並旨在執行矩陣乘法。但是，如果我們已經有了完美的 np.matmul，為什麼還需要新的中綴運算符呢？
向stdlib添加新運算符的主要動機是矩陣乘法是一個非常常見的運算，它應該擁有自己的中綴運算符。例如，運算符 // 遠不如矩陣乘法常見，但仍擁有自己的中綴。要了解此添加的背景，請查看PEP 465 （
https://www.python.org/dev/peps/pep-0465/）。
# 1D array
a = np.array([1, 2, 3]) # shape (1, 3)
b = np.array([4, 5, 6]) # shape (1, 3)
>>> a @ b
32# 2D array with values in 1 axis
a = np.array([[1, 2, 3]]) # shape (1, 3)
b = np.array([[4, 5, 6]]) # shape (1, 3)
>>> a @ b.T
array([[32]])# 2D arrays
c = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6]]) # shape: (2, 3)
d = np.array([[1], [1], [1]]) # shape: (3, 1)
>>> c @ d
array([[ 6],
[15]])因此，@ 的工作原理和 np.matmul 完全一樣。但是在 np.matmul 和@ 之間應該使用哪一個呢？盡管這是你的偏好，但在代碼中 @ 看起來比np.matmul 更幹凈。例如，如果你想對三個不同的矩陣 x，y，z 執行矩陣乘法。那麼下面是不同的方式：
# `np.matmul` version
np.matmul(np.matmul(x, y), z)
# `@` version
x @ y @ z如你所見，@ 操作符更為簡潔、易讀。然而，由於該操作符僅在Python 3.5及以上版本可用，如果你使用的是更早的Python版本，你必須使用np.matmul。
薈萃知識，滋養你我。